Değerli okuyucular bulunduğum tatil yöresinde internet bağlantısı sıkıntısı nedeniyle yazılarıma bir süre ara verdim.
Orta çağın en yetenekli Batılı matematikçisi olarak kabul edilen İtalyan matematikçi Fibonacci Hint-Arap Sayılarını Avrupa'ya getirmesiyle ve 13. yüzyıl başlarında 1202 de yayınlanan Liber Abaci isimli hesaplama yöntemleri kitabıyla tanınır. Bilindiği gibi Arap rakamlarının (Arap rakamları, kavram olarak günümüzde sayıları göstermek için yaygın olarak kullanılan on adet rakamı ({\displaystyle \mathbf {0} ,\mathbf {1} ,\mathbf {2} ,\mathbf {3} ,\mathbf {4} ,\mathbf {5} ,\mathbf {6} ,\mathbf {7} ,\mathbf {8} ,\mathbf {9} }0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) ifade eder. Aslında Hint matematikçiler tarafından tanımlanmıştır.) Daha sonra Kuzey Afrikalı Arap matematikçiler tarafından düzenlenmiş ve buradan Orta Çağ'da Avrupa'ya yayılmıştır. Avrupa’ya girmesinden önce, Avrupa’da Roma rakamları kullanılıyordu. Bu rakamlarla dört işlem yapmak, hemen hemen olanaksız olduğu için hesap abaküslerle yapılırdı Liber Abaci Avrupa’ya yepyeni bir hesap yöntemi getiren ve bir bakıma abaküsü ortadan kaldıran bir kitaptır. Bu kitapta 10 lu sayı düzeninde nasıl aritmetik yapılacağı anlatılmıştır. Kitap, İlköğretimde öğrendiğimiz, sayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine ait kuralları vermiştir
Leonardo Fibonacci (1170?-1250)
Liber Abaci 13’üncü yüzyıl Avrupa’sında büyük ilgi görür, Kilise’nin yasaklamasına karşın Arap sayıları İtalyan tüccarlar arasında yayılır. Kitap, II. Friedrich (Kutsal Roma imparatoru (1194-1250)) ’in dikkatini çeker. İmparator bilime düşkündür. Bilim ve sanat insanlarını korur. 1220’de Fibonacci’ye sahip çıkar Palermo’daki kıraliyet Sarayında bilimsel çalışma yapmasına destek olur. Leonardo Fibonacci Hint-Arap sayılarını Batı’ya tanıtmakla çok büyük bir katkıda bulundu. Çağımız matematikçileri Fıibonacci’nin adını, daha çok, Liber Abaci’de yer alan özel bir problemde ortaya çıkan bir sayı dizisi nedeniyle bilirler. Dolayısıyla Fibonacci’yi anlattığımız bu yazıda Fibonacci sayılarından ya da “Fibonacci dizisi”nden söz edeceğim. Bu de nedenle bu yazının geri kalan kesimini bu diziye ayıracağım. Bu problem, çok iyi bilinen tavşan problemidir.
Şimdi kısaca Liber Abaci’de yer alan bu problemi tanıtacağım.
TAVŞAN PROBLEMİ: Orijinal problem 1202 yılında Fibonacci tarafından ideal durumlarda tavşanların ne kadar hızlı yavruladıklarını göstermek amacıyla araştırılmıştır. Kabul edelim ki yeni doğmuş bir çift tavşanın biri erkek biri dişi olsun. Bunları belirlenmiş bir odaya koyalım. Tavşanlar bir aylık olduklarında çiftleşebilecek duruma gelmektedirler. İkinci ayın sonunda dişi tavşanın diğer bir çift tavşan doğurduğunu kabul edelim. Tavşanlarımızın asla ölmediğini ve dişilerin ikinci aydan başlayarak her ay daima bir erkek bir dişi tavşan doğurduğunu kabul edelim. Fibonacci aşağıdaki soruyu sormuştur:
Bir yılın sonunda kapalı odada kaç çift tavşan olacaktır? Bu sorunun yanıtını adım adım vereceğiz:
1. Bir çift tavşanı belli bir odaya koyalım. Birinci ayın sonunda tavşanlar çiftleşti ve birinci ayın sonunda yine bir çift tavşan bulunmaktadır.
2. İkinci ayın sonunda dişi tavşan yeni bir çift (erkek ve dişi) doğurdu, böylece belirli alanda şimdi iki çift tavşan oldu.
3. Üçüncü ayın sonunda orijinal dişi tavşan ikinci bir çift tavşan doğurdu. Böylece kullanılan alanda üç çift tavşan oldu.
4. Dördüncü ayın sonunda orijinal dişi tavşan yeni bir çift tavşan doğurdu, iki ay önce doğan dişi tavşan onun ilk çiftini doğurdu. Böylece odada beş çift tavşan oldu. Bu düşünceler sonraki aylar için de tekrarlanırsa belirli alanda 12. ayın sonunda 144 çift tavşan olacaktır.
Bu durumları aşağıda değişik renklerdeki tavşan çiftlerini sayarak görebiliriz.
Tavşanların Üreme Şeması
Fibonacci, ardışık sayıların aşağıdaki gibi birbirine bölünmesiyle,
|
1/1 |
2/1 |
3/2 |
5/3 |
8/5 |
13/8 |
21/13 |
34/21 |
55/34 |
|
1.0 |
2.0 |
1.5 |
1.666 |
1.600 |
1.625 |
1.615385 |
1.619048 |
1.617647 |
aşağıdaki sayı dizisini bulmuştur:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 .....
Bu diziye “Fibonacci dizisi” adı verilir. İncelediğimizde n (ay ve yıl) arttıkça değerlerin sabit bir sayıya yaklaştığını görürüz. 1.61803… ile gösterilen bu değere altın oran diyoruz. Altın oran’a ilişkin matematik bilgisinin M.Ö. 3. yüzyılda Euclid’in (M.Ö. 325-265?) “Elementler” isimli 13 kitaptan oluşan çalışmalarından 13 cü kitapta ilk kez ortaya atıldığı düşünülmektedir. (fi=phi) ile gösterilen bu değer Parthenon tapınağının mimarı Büyük Yunan heykeltıraşı Phidas’›n (MÖ 490 - 430) adıyla anılır Bu problem erkek ve kız kardeşlerin çiftleşmesini gerektirmektedir. Bu durum genetik olarak bazı sorunları getirmektedir. Bu sorunu, her bir çiftin dişisi, her hangi bir erkek ile çiftleşerek diğer bir çifti üretirler diyerek ortadan kaldırırız. Gerçek yaşama uymayan diğer bir problem ise, her bir doğumda tam olarak iki tavşan doğması ve birinin erkek, diğerinin dişi olmasıdır.
Doğa neden güzeldir? Doğaya bakarak geliştirdiğimiz matematikte doğayı görebiliriz!
